Как восстановить иконку в трее?

Чтобы иконка в трее всегда показывалась, идёшь Пуск -- Свойства -- Скрывать неиспользуемые значки -- Настроить. В появившемся окне, если программа или апплет, нужные тебе запущены, то просто выбираешь "Всегда отображать":

По всей видимости дело в том, что эта программа загружается быстрее, чем explorer.exe (то есть оболочка системы), и если перезагрузить этот процесс через диспетчер задач и запустить снова, то все иконки появляются.

Попробуй сделать вот что: запусти Диспетчер задач, на вкладке "Процессы" найди процесс explore.exe и заверши его. Затем в этом же Диспетчере задач в меню "Файл" кликаешь "Новая задача" и вводишь explorer.exe и жмёшь ОК. 

Если всё нормально и иконка в трее появилась, то можно написать батник, запускаемый последовательность написанных выше действий  и для решения проблемы нужен только один клик мыши. Или даже можно закинуть этот батник в автозагрузку -- будет запускаться на автомате.

Я не понял, какой процесс тебе так и не удалось завершить? explorer.exe? Это может происходить из-за того, что твоя учётная запись не обладает административными правами.

Ладно, попробуем зайти с другого конца. Удали программу через Пуск -- Панель Управление -- Установка и удаление программ. Перезагрузись. Снова установи программу. 

Давай сделаем ещё попытку. Тебе надо переустановить программу, но уже запущенная программа не даёт это сделать. Она автоматически запускается при загрузке системы. Выключим её из автозагрузки. Для этого идём Пуск -- Выполнить -- вводим команду msconfig -- ОК. 

В следующем окне идём на вкладуку "Автозагрузка":

Здесь ищешь твою программу, снимаешь галку с неё, Применить, перезагрузиться. После перезагрузки эта программа запущена не будет и её можно удалить, затем перезагружаешься и  и переустанавливаешь программу.